Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Thông tin thêm về Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*) (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Phương trình giải số nguyên Chương trình học toán 8 và toán 9 được thực hiện dưới dạng các bài tập khó. Đáp án là số nguyên thường gặp trong các câu đố, đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 môn toán.

Phương trình giải số nguyên Nó gồm 87 trang và tổng hợp đầy đủ các dạng lý thuyết và bài tập về cách tìm nghiệm nguyên. Giải phương trình căn nguyên số nguyên được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi học sinh có học lực từ trung bình, khá đến khá. Điều này giúp học sinh tích hợp và nắm chắc kiến thức cơ bản, vận dụng vào giải bài tập cơ bản. Ngoài ra, bạn có thể xem thêm tài liệu. Giải phương trình bậc hai có tham số, bài tập liên quan đến Vi-et và ứng dụng.

1. Giải toàn bộ phương trình nghiệm nguyên.

Tìm mọi thứ bằng cách giải phương trình f (x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn số x, y, z, … với một nghiệm nguyên.
Tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình.

2. Những lưu ý khi giải phương trình có nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên, bạn phải vận dụng linh hoạt các tính chất như chia hết, đồng dư, chẵn lẻ để tìm các đặc điểm và nghiệm chưa biết trong phương trình và rút gọn phương trình về một dạng đã biết. Cách giải, hoặc một phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp phổ biến nhất được sử dụng để giải phương trình số nguyên là:

Cách sử dụng tài sản phân chia
Làm thế nào để suy nghĩ về sự cân bằng giữa cả hai bên
Cách sử dụng bất đẳng thức
Cách sử dụng thuộc tính hình vuông hoàn hảo
Nghịch đảo vô cực, nguyên lý giới hạn

3. Làm thế nào để giải phương trình với gốc số nguyên

I. Cách chia

Hình thức 1: Phát hiện khả năng phân chia những thứ ẩn giấu

Câu hỏi 1.. Giải phương trình số nguyên 3x + 17 y = 159 (1)

Hướng dẫn giải pháp

Gọi x và y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Bạn có thể thấy rằng cả 159 và 3x đều chia hết cho 3. Do đó, $17 yvdots3 Mũi tên phải yvdots3$ (Vì 17 và cả ba nguyên tố cùng nhau).

nơi $toán {y} = 3 toán {t} (toán {t} của toán {Z})$ Thay thế trong phương trình $3 mathrm {x} +17.3 mathrm {t} = 159 Mũi tên trái và phải mathrm {x} +17 mathrm {t} = 53.$

Như vậy: $Trái {begin {matrix} {c} mathrm {x} = 53-17 mathrm {t} \ mathrm {y} = 3 mathrm {t} end {matrix} (mathrm {t} of mathrm {Z}) Phải.$ .. Thử lại. Bạn có thể thấy rằng phương trình đã cho đúng.

Do đó, phương trình có nghiệm (x, y) = (53-17 t, 3 t). trong đó t là số nguyên bất kỳ.

vấn đề 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 13 y = 156 (1).

Hướng dẫn giải pháp

– Vì có phương 1: 13y: 13 và 156: 13. $2 xvdots13 Mũi tên phải xvdots13$ (Vì (2,3) = 1).

x = 13k ( $Zk$ ) Thay vào (1): y = -2k + 12

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là: $left {start {array} {l} x = 13 k \ y = -2 k + 12end {array} (k in Z) right ..$

– Cách 2: Từ (1) $Mũi tên phải x = fraction {156-13 y} {2} = fraction 78 {13 y} {2},$

Vì $x in Z Mũi tên phải frac {13 y} {2} in Z rằng (13,2) = 1 Mũi tên phải y vdots 2 Đặt y = 2 t (t in Z) Mũi tên phải x = 78-13 t$

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là: $trái {bắt đầu {ma trận} {l} x = 78-13 t \ y = -2 có xu hướng {ma trận} tăng gấp bốn lần (t in Z) sang phải ..$

Lưu ý: Dạng của phương trình là ax + by = c. Trong đó a, b, c là các số nguyên.

*Sự hòa tan:

– Cách 1: Cân nhắc việc tách tủ.

– Cách 2: Dùng Ẩn nguyên tố, Phép chia để tìm điều kiện để một phân số là số nguyên.

Vấn đề 3. Giải ra nghiệm nguyên 23x + 53 y = 109.

Hướng dẫn giải pháp

chúng ta có $x = phân số {109-53 y} {23} = phân số {23 (4-2 y) + 17-7 y} {23} = 4-2 y + phân số {17-7 y} {23}$

Các phân số cần được chuyển đổi nhiều hơn $phân số {17-7 toán {và}} {23}$ Đảm bảo hệ số của biến y là 1.

Phân tích: cộng và trừ các bội số thích hợp của 23 cho tử số

$fraction {17-7 math {y}} {23} = fraction {17-7 math {y} + 46-46} {23} = fraction {7 (9-math {y}) - 46} {23} = -2 + phân số {7 (9-mathrm {y})} {23}$

một lát sau $x = 2-2 y + phân số {7 (9-y)} {23}$ Vì $x in Z Rightarrow frac {9-y} {23} in Z, make (7,23) = 1.$

nơi $9-mathrm {y} = 23 mathrm {t} (mathrm {t} of mathrm {Z}) Mũi tên Phải mathrm {y} = 9-23 mathrm {t}$

Do đó, nghiệm ban đầu của phương trình là: $left {start {array} {l} x = 9-23 t \ y = 53 t-16end {array} (t in Z) right ..$

Vấn đề 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11x + 18 y = 120

Hướng dẫn giải pháp

Chúng tôi thấy $11 xvdots6 Mũi tên phải xvdots6$ x = 6k ( $Zk$ ) (1) Thay vì đơn giản hóa, nó trông giống như sau: 11 k + 3 y = 20

Nếu hệ số đại diện cho một đối tượng ẩn có giá trị tuyệt đối nhỏ (y) đối với k, nó như sau. $y = phân số {20-11k} {3}$

Tách các giá trị nguyên trong biểu thức này. $toán {y} = 7-4 toán {k} + phân số {toán {k} -1} {3}$

khôi phục: $frac {mathrm {k} -1} {3} = mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Mũi tên Phải mathrm {k} = 3 mathrm {t} + 1.$

Như vậy: $mathrm {y} = 7-4 (3 mathrm {t} +1) + mathrm {t} = 3-11 mathrm {t}; quad mathrm {x} = 6 mathrm {k} = 6 (3 mathrm {t} +1) = 18 toán {t} +6$

Thay phương trình trước đó vào phương trình (1), chúng ta thu được:

Do đó, nghiệm của phương trình là (x, y) = (18 t + 6; 3-11 t), $trong Z$

Chú ý: a) Nếu bài toán cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tổng quát có thể giải theo điều kiện sau:

$left {start {array} {l} 18 math {t} +6> 0 \ 3-11 math {t}> 0 end {array} Leftrightarrow-frac {1} {3} <frac {3 }{11}そうです。$

Do đó, t là số nguyên nên t = 0. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y) = (6,3).

Nếu bạn muốn tìm một nghiệm nguyên dương cho (1), bạn cũng có thể giải nó như sau. 11x + 18y = 120

hạnh kiểm $mathrm {y} geq1 nên 11mathrm {x} leq 120-18.1 = 102.$

Vì x là số nguyên $toán {x} leq 9$ ..Một phương pháp khác $toán học {x} vdots 6$ x là số dương nên x = 6 $Mũi tên phải toán học {y} = 3$

Vấn đề 5. Tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình. $6 toán {x} ^ {2} + 5 toán {y} ^ {2} = 74$

Hướng dẫn giải pháp

chúng ta có: $6 mathrm {x} ^ {2} +5 mathrm {y} ^ {2} = 74 Leftrightarrow 6left (mathrm {x} ^ {2} -4right) = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) (hai)$

thầy bói của (2) $6left (toán {x} ^ {2} -4right): 5$ phương pháp khác $(6,5) = 1 Rightarrowleft (mathrm {x} ^ {2} -4right) vdots 5 Rightarrow mathrm {x} ^ {2} = 5 mathrm {t} +4 (mathrm {t} trong mathrm {N})$

Đổi $toán học {x} ^ {2} -4 = 5 toán học {t}$ (2) bao gồm những điều sau đây. $30 mathrm {t} = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) Leftrightarrow mathrm {y} ^ {2} = 10-6 mathrm {t}$

Có nguồn gốc từ: $t trong {0; Đầu tiên}$

Nếu t = 0 thì không đạt yêu cầu của bài toán.

Nếu t = 1 thì: $left {start {array} {l} x ^ {2} = 9 \ y ^ {2} = 4end {array} Leftrightarrowleft {start {array} {l} x = pm 3 \ y = pm 2end {array} right. thẳng.$ ..

Mặt khác, x và y là các số nguyên dương nên x = 3 và y = 2.

Do đó, phương trình có nghiệm (x, y) = (3,2).

Dạng 2: Cách quay lại phương trình số chia

* Cơ sở phương pháp luận:

Cố gắng chuyển một phương trình đã cho thành một phương trình trong đó một bên là tích của các giá trị nguyên và bên phải là một hằng số nguyên.

Trên thực tế, nó biến đổi phương trình thành định dạng sau: $toán {A} (toán {x}; toán {y}) cdot toán {B} (toán {x}; toán {y}) = toán {c} trong đó toán {A} (toán {x}; toán {y }}), toán {B} (toán {x}; toán {y})$

Loại 3: Cách chia một giá trị nguyên.

* Cơ sở phương pháp luận: Đối với nhiều bài toán có nghiệm nguyên, bạn có thể dễ dàng đánh giá và tìm lời giải bằng cách chia phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên. Hầu hết các bài toán sử dụng phương pháp này thường tạo ra ẩn số (chính). ..

Câu hỏi 1. Tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình sau. $x y-2 y-3 y + 1 = 0$